La méthode des grandeurs
Le groupe de recherche « La méthode des grandeurs » est issu de la recherche IREM&S de Poitiers, groupe « Collège & Primaire »
L’enseignement des mathématiques par les grandeurs est une approche différente, innovante qui s’appuie sur la recherche et notamment sur les travaux de l’institut de recherche de l’enseignement des mathématiques de Poitiers. Cet enseignement est mis en œuvre au collège depuis une quinzaine d’années et, plus récemment, en classes de CM1 et CM2.
L’organisation de l’enseignement de mathématiques se fait en général en répartissant les contenus du programme en un certain nombre de chapitres, comme on le voit dans les manuels : Fractions, Opérations sur les décimaux, Nombres relatifs, Symétrie centrale, Quadrilatères, Théorème de Pythagore, Équations, Proportionnalité, Statistiques, … On travaille ainsi les notions mathématiques de façon cloisonnée en risquant parfois de se restreindre à un enseignement de techniques. Ce faisant on ne comprend pas bien pourquoi on apprend toutes ces techniques, même si de temps en temps on en voit quelques applications pratiques.
Or les mathématiques ont été créées par les hommes depuis plus de 5000 ans pour résoudre un grand nombre de problèmes qui se sont posés à eux et qui se posent encore à nous : comment partager un terrain, un parking, une somme d’argent, un ensemble d’objets, un volume de liquide, un angle en parts égales ? Comment comparer des populations, des longueurs, des surfaces, des volumes ? Comment les mesurer, les calculer ? Les populations, les prix, les longueurs, les surfaces, les volumes, les angles, mais aussi les durées, les masses … sont des grandeurs qui font partie de notre vie. Et c’est à partir de ces grandeurs que les hommes ont élaboré les mathématiques.
L’enseignement des mathématiques par les grandeurs propose donc de partir de l’étude d’un certain nombre de grandeurs, et en priorité de celles qui figurent au programme, pour découvrir, à chaque niveau d’enseignement, les contenus du programme. Ces grandeurs sont les chapitres de l’année : Longueurs, Prix, Angles, Populations, Aires, Durées, Volumes…
Quels avantages ?
Les grandeurs et les questions étudiées sont en prise directe avec la vie : l’élève peut ainsi comprendre le pourquoi des mathématiques. Et en apprenant, dans chaque grandeur, comment on résout ces questions, il apprend des mathématiques : il découvre de nouveaux nombres, il calcule, il trace des figures, il raisonne, il apprend l’ordre de grandeur des choses, il fait du calcul mental, il programme un algorithme ou la construction d’une figure, il utilise un tableur.
Cet enseignement décloisonne les contenus des anciens chapitres : en travaillant sur les longueurs, on va par exemple construire des figures ayant des côtés de même longueur, et donc travailler sur des triangles, des quadrilatères, des polygones réguliers qui auraient été dans des chapitres différents. Mais on va aussi apprendre à agrandir des figures, à chercher le rapport entre deux longueurs : et nous voici alors dans les multiples et diviseurs et dans les fractions qui s’introduisent ainsi naturellement sans faire l’objet d’un chapitre à part. Et quand on parlera de mesures de longueurs on aura affaire à des nombres et du calcul.
Cet enseignement est spiralaire : on revoit dans chaque grandeur des contenus que l’on a déjà vus dans une grandeur étudiée auparavant. Par exemple quand on va être dans les prix et leur comparaison on va retrouver les rapports et fractions que l’on avait vus dans les longueurs, les aires ou les volumes. Quand on va parler de variations de prix on va retrouver les nombres relatifs que l’on a déjà rencontré dans les variations de températures. Cela permet un apprentissage progressif : ce qui n’a pas été bien assimilé du premier coup, va être revu dans un autre contexte, avec un autre regard, et plusieurs fois dans l’année.
Cet enseignement est ouvert sur la vie : les situations (exercices, problèmes) étudiées permettent de découvrir des métiers, des instruments, des sujets d’hier ou d’aujourd’hui. Par exemple la fausse équerre du menuisier, le mesureur d’angle du plaquiste, le sextant du marin, le diviseur du couturier, le cric du garagiste, la croix du bûcheron, le compas du marin ou de l’aviateur, l’odomètre pour mesurer les longueurs… Mais aussi des ustensiles et objets de la vie quotidienne : doseur de spaghetti, coupe pomme, coupe gâteaux, poêle à blinis, verre mesureur, pluviomètre, bac à sable, parc d’enfant, bac à fleurs, table en X, objets de designers… Ou encore des réalisations techniques : ponts, jantes, éoliennes, panneaux solaires, silos, pylônes, labyrinthes, grues, élévateurs, toitures, charpentes, fortifications… Et des sujets d’actualité : saut libre de 36000 m, mission Gaïa, exploits sportifs internationaux (Vendée Globe…), nationaux (Tour de France…), ou locaux (Cross, duathlon…), vague de froid en Amérique du Nord…
C’est un enseignement des mathématiques qui donne du sens aux contenus mathématiques enseignés : il les motive pour motiver les élèves. C’est un enseignement vivant où l’on découvre la vie et les mathématiques sous un nouveau jour.
| Les mathématiques ont pour objet de mesurer, ou plutôt de comparer les grandeurs ; par exemple les distances, les surfaces, les vitesses, etc. (Bossut, 1784) L’oubli de la notion de grandeur ferme les mathématiques sur elles-mêmes. En sens inverse, l’exploration de l’univers des grandeurs constitue le point de départ de l’exploration mathématique de la diversité du monde. L’introduction mathématique au monde qui nous entoure suppose donc prise de contact et familiarisation avec l’univers des grandeurs. (Chevallard, Bosch, 2002) |
Pourquoi ?
L’introduction du rapport préconisant 21 mesures pour l’enseignement des mathématiques remis par Charles Torossian et Cédric Villani met en évidence un contexte actuel préoccupant : les résultats des élèves sont faibles (Pisa, Timss, Cèdre), des enseignants sont en souffrance, l’image des mathématiques est mauvaise, les concours de recrutement n’attirent guère. Des élèves et des professeurs démotivés, que faire ?
Notre constat depuis de nombreuses années est que les savoirs, techniques et compétences mathématiques sont souvent présentés et travaillés de façon décontextualisée, sans liens entre eux ni avec la vie quotidienne, sans justification, et dans un contexte très « artificiel ». Les grandeurs sont à la fois l’origine et le lieu de vie des notions élémentaires de mathématiques. Par leur étude, nous montrons que ces notions sont les réponses à des questions que se sont posées ou que se posent les hommes que nous donnerons un liant, une logique et donc du sens aux mathématiques enseignées tant pour le professeur que pour les élèves.
Il s’agit donc de rendre notre enseignement motivé et motivant. Notre travail s’inscrit ainsi dans un projet global de restructuration des contenus des programmes de mathématiques de l’école et du collège autour des grandeurs et de la vie des hommes.
Comment ?
L’organisation
Pour les classes de cycles 3 et 4, nous proposons d’organiser le travail de l’année autour de l’étude des grandeurs suivantes : populations, angles, durées, aires, prix, volumes, longueurs, masses, chances, températures. Ces grandeurs, qui sont des domaines transversaux aux thèmes du programme, et donc aux différents domaines des mathématiques, constituent nos chapitres.
Nous avons structuré l’étude de chaque grandeur autour de quelques grandes questions mathématiques : Comment définir ? Comment dénombrer ? Comment comparer ? Comment partager ? Comment mesurer ? Comment calculer ? Qui en entraînent d’autres : comment multiplier, diviser, construire… ?. Dans chaque nouveau chapitre, l’élève rencontre les mêmes grandes questions mathématiques, retrouve ou enrichit les outils et méthodes qu’il a déjà vus. Les notions et savoir-faire du programme deviennent des outils de réponse à ces questions : le savoir qui se construit sert à quelque chose, il devient fonctionnel. La notion qui était vue comme objet d’étude passe au statut d’outil que l’élève s’est approprié.
Les compétences, les situations et le prescrit
Pour mettre en œuvre l’ensemble des compétences du programme et leur donner du sens dans la classe, nous élaborons pour chaque grandeur une banque de situations structurée autour des grandes questions et dont le contenu est ancré dans la vie des hommes, présente mais aussi passée. Ces situations permettent de travailler à la fois des compétences générales et des compétences mathématiques : lire un texte, une image, un document, comprendre une démarche, commenter et critiquer, modéliser, chercher, raisonner, représenter, calculer, construire…, et de le faire dans des contextes variés. À partir de cette banque, chacun peut personnaliser le parcours du chapitre qu’il va proposer à ses élèves et peut différencier les apprentissages des élèves.
Cet enseignement, à partir des situations, place le questionnement au centre des apprentissages : on se demande comment faire pour comparer des prix, des angles, pour diviser des durées, des aires, pour reproduire un angle… Il s’inscrit totalement dans la démarche de résolution de problèmes qui fait l’essence des mathématiques et que le programme prône.
Les automatismes
Ainsi, la confrontation aux situations issues de la vie courante permet de manipuler les concepts en calcul mental ou réfléchi, les procédures et stratégies de résolution des questions des cycles 3 ou 4 de manière ritualisée et quotidienne. La multiplication des contextes pour un même savoir faire, que permet cet enseignement, renforce la conceptualisation et l’appropriation des notions et techniques.
La manipulation, l’expérimentation
Enfin, nous relions l’étude de chaque grandeur à la manipulation d’outils et d’instruments, actuels ou anciens, fournis ou créés. La manipulation, l’expérimentation physique qui fait vivre une question, une réponse, un travail, une grandeur est pour nous un levier fort pour acquérir les notions et savoir-faire du programme.
La mise en oeuvre dans les classes
Les fascicules (cycle 3) et brochures (cycle 4) produits fournissent les éléments pour mettre en œuvre cette démarche : répartition des contenus des programmes de cycle 3 et cycle 4 sur les différentes grandeurs, exemples de progressions, mise en évidence du caractère spiralé de ces progressions, choix des questions et des situations étudiées, exemples de cours, banque de situations, fiches de séances, activités mentales, évaluations. Tout le matériau en lien avec chaque brochure (sixième et cycle 4) est disponible en ligne sur un espace dédié.